摘要：如果ETH 價格翻倍，ETH 的2 次方永續合約翻4 倍，3 次方永續合約翻8 倍，5 次方永續合約翻32 倍。 Paradigm 近日設計了一種基於價格N 次方的新型永續合約。本文暫譯為乘方永續合約。整個DeFi 衍生品賽道還處於萌芽期，Paradigm 每次的設計和思考都站在前沿， …
如果ETH 價格翻倍，ETH 的2 次方永續合約翻4 倍，3 次方永續合約翻8 倍，5 次方永續合約翻32 倍。
範例 近日設計了一種基於價格N 次方的新型永續合約。本文暫譯為乘方永續合約。整個 去金融機構 衍生品賽道還處於萌芽期，Paradigm 每次的設計和思考都站在前沿，值得學習。
簡介
本文介紹了一種新型的衍生品— 乘方永續合約（動力永續）。
如果ETH 的價格翻倍，ETH 的2 次方永續合約翻4 倍，ETH 的3 次方永續合約翻8 倍，ETH 的5 次方永續合約翻32 倍。
當然，這種不對稱的上漲並不是免費的。那些做多乘方永續合約的人需要定期支付溢價收益，給那些做空的人。
乘方永續合約提供了類似於全球期權的風險敞口，而不需要行權價或到期日，使其有可能將大部分期權市場的流動性，整合到單一的工具中。
從不少方面來講，乘方永續合約都是 永續期權 合理的下一步。據我們所知，除我們外，研究人員Wayne Nilsen 和lllvvuu 也各自獨立發現了這種產品。
機制
前提條件
乘方永續合約是 永續期權論文 中介紹的永續衍生品的一個特殊系列。
在本文接下來的內容中，我們將假設讀者已經熟悉永續期權和 永續期貨 的基本機制。
定義
乘方永續合約是指與某些標的資產價格的乘方掛鉤的永續衍生品。在本文中，我們將假設這個標的資產是以太幣。
對於任何乘方p，ETH^p 乘方永續合約都是通過定期（如每天）支付的資金費用來維持的。如果在註資時，乘方永續合約的當前價格是$MARK，做多乘方永續合約的人必須向做空的人支付$(MARK-INDEX) = $(MARK-ETH^p)。
在乘方永續合約裡，我們把這種資金費用稱為溢價收益(premium yield)。因為這種費用通常是由多頭向空頭支付的溢價，以換取類似期權的風險敞口。
例子
考慮ETH^2 乘方永續合約。
為簡單起見，假設ETH 的交易價格為$3，而在支付資金時，ETH^2 乘方永續合約的交易價格為$9.09。那麼每份合約多頭都將不得不向空頭支付$ (MARK-INDEX) = $(MARK-ETH^2) = $(9.09-3^2) = $9.09 – $9.00 = $0.09。
定價
概述
乘方大於1 的永續合約具有正的凸性，這意味著當價格對他們有利時，持有者賺錢更快，而當價格對他們不利時，虧錢則更慢。用期權的話說，我們說它們有正的伽馬值(gamma)。
就像期權通常以其內在價值的溢價交易一樣，ETH^p 的乘方永續合約通常以ETH 價格的p 次冪的溢價交易。
推導
按照永續期權論文中的方法，我們可以先對即將到期的乘方衍生品進行定價，然後這些衍生品的組合進行定價，這個組合剛好相當於所需的永續合約。
下面我們將使用Black-Scholes 假設來推導我們的價格。這些當然不是最合適的假設，但應該可以作為一個例子來說明做市商如何去給乘方永續合約估值。
在Black-Scholes 假設下給一個即將到期的乘方衍生品定價要比給期權定價簡單得多。有興趣的讀者可以在StackExchange 這裡 找到一個快速推導。其價格為
其中S 是現貨價格，p 是乘方數，t 是到期時間，r 是漂移（drift）或者叫無風險利率，v 是年化波動率。
結合永續期權論文附錄B 中的永續期權定價方法，並對所得的幾何數列進行求和，我們可以得到每期支付一次資金的乘方永續合約的價格表達式如下（假設數列收斂— 見下文）：
其中f 是以年為單位的注資期。
溢價收益（我們對融資率的新術語）可以計算為：
收斂性
我們總是可以對股票永續期權進行定價，而與之不同的是，配置不好的乘方永續合約可能會出現價格無法收斂的情況。特別是，我們只有在以下情況下才可以對乘方永續合約進行定價：
直觀地說，乘方數和波動率越高，長期的臨期乘方期貨就越有價值；注資期越長，乘方永續合約的價值就越集中於長期的乘方期貨。對某些組合來說，同等的投資組合可以變得無限有價值。
這個問題在實踐中可以通過選擇一個足夠小的注資期來輕鬆避免。
例子
ETH^2 乘方永續合約
見 https://github.com/para-dave/powerperps/blob/master/power_perp_prices.ipynb
在Black-Scholes 假設下，ETH^2 乘方永續合約的價格為
在其他條件相同的情況下，當ETH 價格4 倍時，它會翻16 倍。
我們親切地稱它為「squeeth」，是「ETH 平方」的簡稱。
ETH^3 乘方永續合約
見 https://github.com/para-dave/powerperps/blob/master/power_perp_prices.ipynb
ETH^3 乘方永續合約的價格為
在其他條件相同的情況下，ETH 價格翻4 倍時，它將翻64 倍。
你可以從圖中清楚地看到永續合約的交易價格比其指數ETH^3 要高，因為它為持有者提供了期權。
Python 定價實現
你可以在 這裡 看到乘方永續合約定價的Python 實現，包括根據經驗證明正確性的測試。
總結
乘方永續合約仍處於起步階段，但我們從一開始就對其進行了深入的研究，並仍對其潛力感到非常興奮。
如果你和我們一樣對這種新東西感到好奇，我們很想听聽你的想法。你可以發郵件給 戴夫@paradigm.xyz，或在Twitter 上給我發私信，或通過 squeeth@opyn.co，聯繫Opyn。
鳴謝：lllvvuu、Wayne Nilsen、Wade Prospere、Grug、Lily Francus、Benn Eifert 博士、Jeff Wang、Mewny
撰文：Dave White、Dan Robinson、Zubin Koticha、Andrew Leone、Alexis Gauba、Aparna Krishnan 翻譯：路遙
