原文標題：《乾貨| Schnorr 簽名如何提升比特幣》，作者Stepan
在閱讀Blockstream 撰寫的 MuSig 論文時，我一直在想像，這對於我一個比特幣用戶來說，到底意味著什麼。我發現Schnorr 簽名的一些特性實在是非常棒而且便利，但某一些特性則非常煩人。在這篇文章裡，我希望能跟各位分享我的想法。不過，我們先快速回顧一下。
橢圓曲線簽名算法
當前比特幣的所有權體系用的是 ECDSA（橢圓曲線簽名算法）。在簽名一條消息 m 時，我們先哈希這條消息，得出一個哈希值，即 z = hash(m) 。我們也需要一個隨機數（或者至少看似隨機的數）k 。在這裡，我們不希望信任隨機數生成器（有太多的錯誤和漏洞都與不合格的隨機數生成器有關），所以我們通常使用 RFC6979，基於我們所知的一個秘密值和我們要簽名的消息，計算出一個確定性的k。
使用私鑰 pk ，我們可以為消息 m 生成一個簽名，簽名由兩個數組成：r（隨機點 R = k * G 的x 坐標）和 s = (z + r*pk)/k。
然後，使用我們的公鑰 P = pk * G ，任何人都可以驗證我們的簽名，也就是檢查 (z/s)×G+(r/s)×P 的x 坐標確為 r。
– ECDSA 算法圖解。為便於說明，橢圓曲線作在實數域上 –
這種算法是很常見的，也非常好用。但還有提升空間。首先，簽名的驗證包含除法（1/s）和兩次點乘法，而這些操作的計算量都非常大。在比特幣網絡中，每個節點都要驗證每一筆交易，所以當你在網絡中發出一筆交易時，全網幾千個節點都要驗證你的簽名。因此，即使簽名的過程開銷變得更大，讓驗證簽名變得更簡單也還是非常有好處的。
其次，節點在驗證簽名時，每個簽名都要單獨驗證。在一個mn 的多簽交易中，節點必須多次驗證同一個簽名。比如一筆7-11 的多簽名交易，裡麵包含了7 個簽名，網絡中的每個節點都要分別驗證7 個簽名。另外，這種交易的體積也非常大，用戶必須為此付出多得多的手續費。
Schnorr 簽名
Schnorr 簽名的生成方式有些許不同。它不是兩個標量 (r, s)，而是一個點 R 和一個標量 s 。類似於ECDSA 簽名，R 是一個橢圓曲線上的隨機點 R = k * G。而簽名的第二部分s 的計算過程也有一些不同： s = k + hash(P,R,m) ⋅ pk 。這裡pk 就是你的私鑰，而 P = pk * G 是你的公鑰，m 就是那條消息。驗證過程是檢查 s * G = R + hash(P,R,m) * P。
– 圖解Schnorr 簽名和驗證 –
這個等式是線性的，所以多個等式可以相加相減而等號仍然成立。這給我們帶來了Schnorr 簽名的多種良好特性。
1. 批量驗證
在驗證區塊鏈上的一個區塊時，我們需要驗證區塊中所有交易的簽名都是有效的。如果其中一個是無效的，無論是哪一個—— 我們都必須拒絕掉整個區塊。
ECDSA 的每一個簽名都必須專門驗證，意味著如果一個區塊中包含1000 條簽名，那我們就需要計算1000 次除法和2000 次點乘法，總計約3000 次繁重的運算。
但有了Schnorr 簽名，我們可以把所有的簽名驗證等式加起來並節省一些計算量。在一個包含1000 筆交易的區塊中，我們可以驗證：
(s1+s2+…+s1000) × G=(R1+…+R1000)+(hash(P1,R1,m1)×P1+ hash(P2,R2,m2)×P2+…+hash(P1000,R1000,m1000)× P1000)
這裡就是一連串的點加法（從計算機運算的角度看，簡直是免費的）和1001 次點乘法。已經是幾乎3 倍的性能提升了—— 驗證時只需為每個簽名付出一次重運算。
– 兩個簽名的批量驗證。因為驗證等式是線性可加的，所以只要所有的簽名都是有效的，這幾個等式的和等式也必成立。我們節約了一些運算量，因為標量和點加法比點乘法容易計算得多。 –
2. 密鑰生成
我們想要安全地保管自己的比特幣，所以我們可能會希望使用至少兩把不同的私鑰來控制比特幣。一個在筆記本電腦或者手機（在線錢包，熱錢包）上使用，而另一個放在硬件錢包/冷錢包裡面。即使其中一個洩露了，我們還是掌控著自己的比特幣。
當前，實現這種錢包的做法是通過2-2 的多簽名腳本。也就是一筆交易需要包含兩個獨立的簽名。
有了Schnorr 簽名，我們可以使用一對密鑰(pk1,pk2)，並使用一個共享公鑰 P = P1 + P2 = pk1 * G + pk2 * G 生成一個共同簽名。在生成簽名時，我們需要在兩個設備上分別生成一個隨機數（k1, k2），並以此生成兩個隨機點 Ri = ki * G，再分別加上 hash(P, R1 + R2, m)，就可以獲得s1 和s2 了（因為 si = ki + hash(P, R, m)* pki ）。最後，把它們都加起來即可獲得簽名 (R, s) = (R1+R2, s1+s2)，這就是我們的共享簽名，可用共享公鑰來驗證。其他人根本無法看出這是不是一個聚合簽名，它跟一個普通的Schnorr 簽名看起來沒有兩樣。
不過，這種做法有三個問題。
第一個問題是UI 上的。要發起一筆交易，我們需要在兩個設備上發起多輪交互—— 為了計算共同的R，為了簽名。在兩把私鑰的情況下，只需訪問一次冷錢包：我們可以在熱錢包裡準備好待簽名的交易，選好k1 並生成 R1 = k1 * G，然後把待簽名的交易和這些數據一同傳入冷錢包並簽名。因為已經有了R1，簽名交易在冷錢包中只需一輪就可以完成。從冷錢包中我們得到R2 和s2，傳回給熱錢包。熱錢包使用前述的（k1，R1） 簽名交易，把兩個簽名加總起來即可向外廣播交易了。
這在體驗上跟我們現在能做到的沒有什麼區別，而且每當你加多一把私鑰，問題就會變得更加複雜。假設你有一筆財富是用10 把私鑰共同控制的，而10 把私鑰分別存放在世界各地，這時候你要發送交易，該有多麻煩！在當前的ECDSA 算法中，每個設備你都只需要訪問一次，但如果你用上Schnorr 的密鑰聚合，則需要兩次，以獲得所有的Ri 並簽名。在這種情況下，可能不使用聚合，而使用各私鑰單獨簽名的方式會好一些—— 這樣就只需要一輪交互。
文章完成後，我得到了Manu Drijvers 的反饋：在一個可證明安全性的多簽名方案中，你需要3 輪交互：
選擇一個隨機數ki 以及相應的隨機點Ri = ki G，然後告訴每一個設備Ri 的哈希值ti=hash(Ri)，然後每個設備都能確保你沒有在知道其他人的隨機數之後改變主意*
收集所有的數字Ri 併計算公共的 R
簽名
第二個問題是已知的Rogue 密鑰攻擊。這篇論文講解得非常好，所以我就不贅述了。大概意思是如果你的其中一個設備被黑（比如你的熱錢包被劫持），並假裝自己的公鑰是 （P1 – P2），那就可以僅憑私鑰pk1 便控制兩個私鑰共享的資金。一個簡單的解決方案是，在設置設備時，要求使用私鑰對相應的公鑰簽名。
還有第三個重大問題。你沒法使用確定性的k 來簽名。如果你使用了確定性的k，則只需一種簡單的攻擊，黑客即可獲得你的私鑰。攻擊如下：某個黑客黑入你的筆記本電腦，完全控制了其中一把私鑰（比如pk1）。我們感覺資金仍是安全的，因為使用我們的比特幣需要pk1 和pk2 的聚合簽名。所以我們像往常一樣發起交易，準備好一筆待簽名的交易和R1，發送給我們的硬件錢包，硬件錢包簽名後將（R2, s2）發回給熱錢包…… 然後，熱錢包出錯了，沒法完成簽名和廣播。於是我們再試一次，但這一次被黑的電腦用了另一個隨機數—— R1′ 。我們在硬件錢包裡簽名了同一筆交易，又將（R2, s2’）發回給了被黑的電腦。這一次，沒有下文了—— 我們所有的比特幣都不翼而飛了。
在這次攻擊中，黑客獲得了同一筆交易的兩個有效的簽名：（R1, s1, R2, s2） 和（R1′, s1’，R2，s2’）。這個R2 是一樣的，但是 R = R1 + R2 和 R’ = R1′ + R2 是不同的。這就意味著黑客可以計算出我們的第二個私鑰：s2-s2’=(hash(P,R1+R2,m)-hash(P,R1’+R2,m))⋅pk2 或者說 pk2=(s2-s2′)/(hash(P,R1+R2,m)-hash(P,R1’+R2,m))。我發現這就是密鑰聚合最不方便的地方—— 我們每次都要使用一個好的隨機數生成器，這樣才能安全地聚合。
3. 音樂
MuSig 解決了其中一個問題—— rogue key 攻擊將不能再奏效。這裡的目標是把多方/多個設置的簽名和公鑰聚合在一起，但又無需你證明自己具有與這些公鑰相對應的私鑰。
聚合簽名對應著聚合公鑰。但在MuSig 中，我們不是把所有聯合簽名者的公鑰直接相加，而是都乘以一些參數，使得聚合公鑰 P = hash(L,P1)×P1 + … + hash(L,Pn)×Pn 。在這裡，L = hash(P1,…,Pn) —— 這個公共數基於所有的公鑰。 L 的非線性特性阻止了攻擊者構造特殊的公鑰來發動攻擊。即使攻擊者知道他的 hash(L,Patk)×Patk 應該是什麼，他也無法從中推導出Patk 來—— 這就跟你想從公鑰中推導出私鑰是一樣的。
簽名構造的其它過程跟上面介紹的很像。在生成簽名時，每個聯合簽名者都選擇一個隨機數ki 並與他人分享 Ri = ki * G。然後他們把所有的隨機點加起來獲得 R=R1+…+Rn ，然後生成簽名 si = ki + hash(P,R,m) ⋅ hash(L,Pi) ⋅ pki 。因此，聚合簽名是 (R, s)=(R1+…+Rn, s1+…+sn) ，而驗證簽名的方法與以前一樣：s×G = R + hash(P,R,m)×P 。
4. 默克爾樹多簽名
你可能也注意到了，MuSig 和密鑰聚合需要*所有簽名者簽名一個交易*。但如果你想做的是2-3 的多簽名腳本呢？這時候我們能夠使用簽名聚合嗎，還是不得不使用通常的OP_CHECKMULTISIG 和分別簽名？ （譯者註：OP_CHECKMULTISIG 是比特幣驗證橢圓曲線多簽名腳本的操作碼）
先說答案，是可以的，但是協議上將有些許的不同。我們可以開發一個類似於OP_CHECKMULTISIG 的操作碼，只不過是檢查聚合簽名是否對應於公鑰默克爾樹上的一個元素。
舉個例子，如果我們想用公鑰P1、P2 和P3 組成一個2-3 的多簽名腳本，我們需要用這幾把公鑰的所有兩兩組合（P1, P2）、（P2, P3）、（P1, P3） 來構建一棵默克爾樹，並把默克爾樹根公佈在鎖定腳本中。
在花費比特幣時，我們需要提交一個簽名和一個證據，證明這個簽名所對應的公鑰位於由這個樹根標記的默克爾樹上。對於2-3 多簽名合約來說，樹上只有3 個元素，證據只需2 條哈希值—— 那個我們想用的公鑰組合的哈希值，還有一個鄰居的。對於7-11 多簽名腳本來說，公鑰組合有11!/7!/4!=330 種，證據需要8 條哈希值。通常來說，證據所包含的元素數量與多簽名的密鑰數量大體成正比，為 log2(n!/m!/(nm)) 。
但有了默克爾公鑰樹，我們就不必局限於mn 多簽名腳本了。我們可以做一棵使用任意公鑰組合的樹。舉個例子，如果我們有一個筆記本電腦，一個手機，一個硬件錢包和一個助記詞，我們可以構建一棵默克爾樹，允許我們使用筆記本電腦+ 硬件錢包、手機+ 硬件錢包或者單獨的助記詞來使用比特幣。這是當前的OP_CHECKMULTISIG 做不到的—— 除非你使用“IF – Else” 式的流程控制來構造更複雜的腳本。
– 聚合公鑰的默克爾樹。不僅僅是多簽名 –
結論
Schnorr 簽名很棒，它解決了區塊驗證中的一些計算開銷問題，也給了我們密鑰聚合的能力。後者在使用時有些不便利，但我們不是在強迫大家使用它—— 無論如何，我們都可以仍舊使用普通的多簽名方案，使用單獨的、不聚合的簽名。
我迫不及待想使用Schnorr 簽名，希望比特幣協議能盡快納入這種簽名方案。
另外，我也真心喜歡 MuSig，它是個優雅的方案，論文也淺顯易懂。我強烈建議各位有閒之時通讀全文。
（完）
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來源：以太坊愛好者原創
