編者按：本文最初發表時間是2021年的8月份，乘方永續合約由下面的原文作者共同提出，衍生品還是一個很小眾的市場，知道的人會使用的人並不多，無論是國內還是國外。 Paradigm 研究院提出來的（乘方永續合約）是一個比較新的衍生品概念，而且未來乘方永續合約會革新整個衍生品市場。本文綜合了Paradigm原文對乘方永續合約的介紹和0x76 StevenZ對其的理解。信息量很大，但非常值得閱讀。建議收藏後有時間慢慢學習。
免責聲明：文中提到的內容不能作為投資建議。
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原文標題： Power Perpetuals
原文作者： Dave White, Dan Robinson, Zubin Koticha, Andrew Leone, Alexis Gauba, Aparna Krishnan
編譯作者：張路遙
本文後半部分作者：律動研究院（0x76 StevenZ）
簡介
本文介紹了一種新型的衍生品– 乘方永續合約。
如果ETH 的價格翻倍，ETH 的2 次方永續合約翻4 倍，ETH 的3 次方永續合約翻8 倍，ETH 的5 次方永續合約翻32 倍。
當然，這種不對稱的上漲並不是免費的。那些做多乘方永續合約的人需要定期支付溢價收益，給那些做空的人。
乘方永續合約提供了類似於全球期權的風險敞口，而不需要行權價或到期日，使其有可能將大部分期權市場的流動性，整合到單一的工具中。
從不少方面來講，乘方永續合約都是永續期權合理的下一步。據我們所知，除我們外，研究人員Wayne Nilsen和lllvvuu也各自獨立發現了這種產品。
機制前提條件
乘方永續合約是永續期權論文中介紹的永續衍生品的一個特殊系列。
在本文接下來的內容中，我們將假設讀者已經熟悉永續期權和永續期貨的基本機制。
定義
乘方永續合約是指與某些標的資產價格的乘方掛鉤的永續衍生品。在本文中，我們將假設這個標的資產是以太幣。
對於任何乘方p，ETH^p 乘方永續合約都是通過定期（如每天）支付的資金費用來維持的。如果在註資時，乘方永續合約的當前價格是$MARK，做多乘方永續合約的人必須向做空的人支付$(MARK-INDEX)=$(MARK-ETH^p)。
在乘方永續合約裡，我們把這種資金費用稱為溢價收益(premium yield)。因為這種費用通常是由多頭向空頭支付的溢價，以換取類似期權的風險敞口。
例子
考慮ETH^2 乘方永續合約。
為簡單起見，假設ETH 的交易價格為$3，而在支付資金時，ETH^2 乘方永續合約的交易價格為$9.09。那麼每份合約多頭都將不得不向空頭支付$(MARK-INDEX)=$(MARK-ETH^2)=$(9.09-3^2)=$9.09-$9.00=$0.09。
定價概述
乘方大於1 的永續合約具有正的凸性，這意味著當價格對他們有利時，持有者賺錢更快，而當價格對他們不利時，虧錢則更慢。用期權的話說，我們說它們有正的伽馬值(gamma)。
就像期權通常以其內在價值的溢價交易一樣，ETH^p 的乘方永續合約通常以ETH 價格的p 次冪的溢價交易。
推導
按照永續期權論文中的方法，我們可以先對即將到期的乘方衍生品進行定價，然後這些衍生品的組合進行定價，這個組合剛好相當於所需的永續合約。
下面我們將使用Black-Scholes 假設來推導我們的價格。這些當然不是最合適的假設，但應該可以作為一個例子來說明做市商如何去給乘方永續合約估值。
在Black-Scholes 假設下給一個即將到期的乘方衍生品定價要比給期權定價簡單得多。有興趣的讀者可以在StackExchange這裡找到一個快速推導。其價格為
S^pe^{t\frac {p-1}{2}(2r+pv^2)}Spet2p−1(2r+pv2)
其中S 是現貨價格，p 是乘方數，t 是到期時間，r 是漂移（drift）或者叫無風險利率，v 是年化波動率。
結合永續期權論文附錄B 中的永續期權定價方法，並對所得的幾何數列進行求和，我們可以得到每期支付一次資金的乘方永續合約的價格表達式如下（假設數列收斂– 見下文）：
S^p\frac {1}{2e^{-f\frac {p-1}{2}(2r+pv^2)}-1}Sp2e−f2p−1(2r+pv2)−11
其中f 是以年為單位的注資期。
這可以解釋為指數S^p 乘以調整係數\frac {1}{2e^{-frac {p-1}{2}(2r+pv^2)}-1}2e−fracp−12(2r+pv2)−11，該係數考慮了乘方永續合約的嵌入式期權性。需要注意的是，當注資期接近0 時，這個調整係數接近1。
溢價收益（我們對融資率的新術語）可以計算為：
\text {MARK}-\text {INDEX} = S^P (\frac {1}{2e^{-f\frac {p-1}{2}(2r+pv^2)}-1}-1)MARK−INDEX=SP(2e−f2p−1(2r+pv2)−11−1)
收斂性
我們總是可以對股票永續期權進行定價，而與之不同的是，配置不好的乘方永續合約可能會出現價格無法收斂的情況。特別是，我們只有在以下情況下才可以對乘方永續合約進行定價：
\frac {e^{f\frac {p-1}{2}(2r+pv^2)}}{2} < 12ef2p−1(2r+pv2)<1
直觀地說，乘方數和波動率越高，長期的臨期乘方期貨就越有價值；注資期越長，乘方永續合約的價值就越集中於長期的乘方期貨。對某些組合來說，同等的投資組合可以變得無限有價值。
這個問題在實踐中可以通過選擇一個足夠小的注資期來輕鬆避免。
例子
ETH^2 乘方永續合約
見https://github.com/para-dave/powerperps/blob/master/power_perp_prices.ipynb。
在Black-Scholes 假設下，ETH^2 乘方永續合約的價格為S^2\frac {1}{2e^{-f（r+v^2）}-1}S22e−f（r+v2）−11。
在其他條件相同的情況下，當ETH 價格4 倍時，它會翻16 倍。
它有一個很方便的特性，就是有一個恆定的伽馬值，即\frac {2}{2e^{-f (r+v^2)}-1}2e−f(r+v2)−12，這意味著無論ETH 的價格如何，它都能提供恆定的期權性。
我們親切地稱它為「squeeth」，是「ETH 平方」的簡稱。
ETH^3 乘方永續合約
見https://github.com/para-dave/powerperps/blob/master/power_perp_prices.ipynb。
ETH^3 乘方永續合約的價格為S^3\frac {1}{2e^{-f（2r+pv^2）}-1}S32e−f（2r+pv2）−11。
在其他條件相同的情況下，ETH 價格翻4 倍時，它將翻64 倍。
你可以從圖中清楚地看到永續合約的交易價格比其指數ETH^3 要高，因為它為持有者提供了期權。
Python 定價實現
你可以在https://github.com/para-dave/powerperps/看到乘方永續合約定價的Python 實現，包括根據經驗證明正確性的測試。
總結
乘方永續合約仍處於起步階段，但我們從一開始就對其進行了深入的研究，並仍對其潛力感到非常興奮。
如果你和我們一樣對這種新東西感到好奇，我們很想听聽你的想法。你可以發郵件給dave@paradigm.xyz，或在Twitter 上給我發私信，或通過squeeth@opyn.co，聯繫Opyn。
鳴謝：lllvvuu、Wayne Nilsen、Wade Prospere、Grug、Lily Francus、Benn Eifert 博士、Jeff Wang、Mewn
編者按：上文是Paradigm對乘方永續合約的一個官方介紹，沒看懂？沒關係，接著來看一下0x76 StevenZ對其的理解，希望對你有所幫助，enjoy~
頂級投資機構Paradigm 在上週發布了一篇介紹新型金融衍生品「乘方永續合約」的論文。論文一經發布，就在區塊鏈的核心用戶社群內引發了廣泛的討論。
那麼，乘方永續合約到底是全新的衍生品類別，還是僅僅對已有衍生品進行了改進。是更加接近期權類衍生品，還是更像我們熟悉的永續合約。本文將通過盡量簡明的語言，嘗試為讀者分析這種新型衍生產品的意義與價值。 （注：本文假設讀者已對期貨、期權以及永續合約的基礎知識有一定了解，故不再佔用篇幅介紹衍生品基礎知識。）
當然，希望進一步深入了解「乘方永續合約」的讀者，還是建議直接閱讀論文原文或由律動轉載的中文翻譯，以及文章中引用的參考鏈接。
線性函數與凸函數
目前所有的金融衍生品，不論其產品的具體結構設計如何變化，其核心都是要構造一個底層資產價格對衍生品價格的映射函數。在這個思路下，主流衍生品可以按照其映射函數的類型分為以下兩類：
第一類為線性函數類衍生品，其衍生品的價格會根據現貨價格的變動而線性變化，對應的產品就是傳統金融中的期貨合約，在此不做過多介紹。
而第二類為凸函數類型衍生品。其典型特徵為衍生品的價格與現貨價格的變動成非線性關係，比如在現貨價格上漲時衍生品價格上漲的幅度更大。而在數學上，凸函數也有明確的幾何特徵，在不追求嚴謹數學定義的前提下，凸函數可以被簡單的理解為一個函數曲線向上或向下彎曲的函數。
下圖是隨機生成的一條函數圖像向下彎曲的凸函數，如果我們使用這個函數構建一個衍生品，其中x 軸代表現貨價格，y 軸代表衍生品的價格。那麼這個衍生品的持有者，就會獲得一種不對稱的風險與收益，當現貨價格上漲時，衍生品持有者的收益增長幅度更大，而當現貨價格下跌時，衍生品持有者虧損的速度卻會更小。
讀者可能已經發現，這種風險收益模式就很類似看漲期權的盈虧模型。因此所有期權類衍生品的核心特徵，也可以概括為風險與收益的不對稱性，這種屬性也常被稱為凸性（幾何描述）或Gamma 值（代數描述）。
這種由凸函數帶來的不對稱的風險與收益組合，為投資者提供了一種十分理想的投資組合風險管理工具。因此具有凸性的金融產品（期權類產品），在傳統金融市場中一直佔據著很大的市場份額，常被專業投資機構用來調整投資組合的風險敞口，或構建更為複雜的衍生產品。
然而美中不足的是，傳統的期權類產品受制於買權、賣權交易的具體實現形式，因此總是難以徹底擺脫產品會不斷到期以及需要行權的缺點。雖然業內一直在進行相關的探索，嘗試構建一種沒有到期日的「永續期權」產品，但效果卻一直不甚理想。
由Paradigm 最新論文提出的「乘方永續合約」，便是對這一經典命題的最新回复。它嘗試結合已經成功驗證過的永續合約產品結構，並通過將其核心函數由線性函數調整為凸函數，試圖解決曾經的「永續期權」一直沒能真正解決的問題，那就是：構造一個不會到期也不需要行權，同時具有凸性的衍生品類別。
對傳統衍生品的重構
我們參照上文的思路，利用永續合約經典的資金費模式，分別對兩種映射函數進行產品重構，便會得到兩種新的衍生品形式。
從上表中可以看出，所謂乘方永續合約，就是利用了永續合約的資金費機制，構建了與期權風險模式類似的不對稱風險敞口的產品。這種結合了資金費機制以及期權類風險敞口的「乘方永續合約」，較傳統期權產品具有了以下明顯優勢：
1. 產品結構更為純粹，不再有交割期、行權價等額外環節，買賣雙方可以單純交易具有凸性的風險敞口；
2. 從根本上解決了同一交易對的流動性割裂問題，交易效率大大提高；
3. 底層邏輯更簡單，方便在計算資源有限的公鏈上進行產品實現；
4. 統一了凸函數類與線性函數類衍生產品的底層函數。從上表中可以看出，y = x 其實就是
在n=1 時的特殊形式。因此一個衍生品協議，可以僅依靠同一個底層映射函數公式，便能模擬期貨與期權兩類不同的風險敞口；
乘方永續合約如何體現期權交易的四種風險敞口
我們知道，傳統的期權類產品包含四種不同的風險敞口，他們分別是：買入看漲期權、賣出看漲期權、買入看跌期權和賣出看跌期權。
他們的定價函數圖像如下（紅色曲線為估值曲線）：
下面我們將通過調整中n 的取值，嘗試構造與傳統期權函數相似的四種函數圖像。
（1）買入看漲期權
當n>1 時，則函數圖像會向下突出。乘方永續合約的多方在現貨價格上漲時收益增幅更快，現貨價格下跌時虧損速度較慢，可以較好的模擬看漲期權的風險敞口。 （本例中取n=3，以買入價格對應的y 值作為y 軸原點）
（2）賣出看漲期權
在上圖的函數中，如果交易者不選擇做多而是做空，則其盈虧函數則與上圖正好相反。也就是按照x 軸對函數圖像進行翻轉。
其持有者的收益特徵也與賣出看漲期權類似，在價格下跌時收益增幅較慢，而在價格上漲時虧損可以快速增加，可以近似模擬傳統期權類的賣出看漲期權。
（3）買入看跌期權
如何通過乘方永續合約構建看跌期權，似乎在論文中並沒有提及。於是我們嘗試將n 取為小於零的負值，便會得到一條現貨價格上漲時虧損緩慢增加，而下跌時收益快速增長的函數圖像。 （下圖中n 取-0.4）
這條曲線的多頭持有人的盈虧模型，與傳統看跌期權的收益模式非常類似，只是函數曲線與y 軸不再相交，於是形成了在現貨價格下跌時收益可以無限增長的特性。
（4）賣出看跌期權
同理，在上圖函數中的空方，持有的是原函數對x 軸的倒影函數。其在價格上漲時收益增速較慢，而在價格下跌時虧損會快速擴大，對應了賣出看跌期權的風險收益模型。
乘方永續合約的定價
文章的最後，我們需要簡單討論一下乘方永續合約的定價問題。
期權之所以需要定價，與其凸函數的性質緊密相關。上文提到，凸函數的持有方獲得了一種收益與風險不匹配的風險敞口。於是想要購買潛在收益大於潛在風險頭寸的一方，只有向其對手方支付一定的溢價，才能減少交易的不公平性並使得交易成交。
這種溢價，在傳統期權中表現為期權的購買價格。而在乘方永續合約中，則會表現為多方向空方定期支付的資金費。這種由多方定期支付資金費的模式，相當於多方在一定期限內，向空方「租用」了這種不對稱的風險敞口。且其租用時間可以自由調整，不再受到傳統期權到期日的限制。
同時，也由於這種溢價的存在，使得函數的成交價格會高於函數圖像本身，這也是論文中的函數圖像會同時具有兩條曲線的原因。下圖中的藍線是函數圖像本身，黃線是考慮溢價之後的理論成交價格，而黃線高於藍線的部分，就是乘方永續合約的多方向空方支付的風險溢價。
那麼下一個問題自然是，黃線應該高於藍線多少才屬於合理的溢價？論文中用複雜的公式詳細討論了這個問題，而在這裡建議讀者可以暫時不去理會這些數學公式，只要知道這個溢價的大小會受哪些因素的影響就可以了。
與傳統的期權產品一樣，乘方永續合約的價格，也就是上文中的溢價，會受到底層資產的波動性、無風險利率的影響。底層資產的波動性越高，乘方永續合約買方支付的溢價就越高，也就是黃線與藍線的距離越大。此外，代表曲線彎曲程度的n 的絕對值越大，代表產品收益與風險的不均衡程度越多，也會使得溢價金額變高。
本文僅基於基本的理論推導，嘗試對乘方永續合約可能的應用場景進行討論，如有不足之處還請專業人士批評指正。我個人對這項創新的第一時間感受是，如果這種模型真的能夠落地並被產品化，且沒有在應用階段被證偽，那麼其有可能是一個與現貨AMM 交易機制同等重要的創新。
非常期待能有專業團隊將乘方永續合約的設想產品化，並使其能夠接受真實市場環境的考驗。
