作者：G. Santostasi；編譯：劉教鏈
前言：3月25日，教鏈分享了文章《比特幣的時間冪律模型及其共整合再探討》。其中介紹的時間冪律模型，教鏈最早在2021.7.24文章《比特幣的價格走廊》中就有所介紹。後來更是在多篇文章中反覆回顧，並作為價格前瞻的工具。有些文章在3月25日文章「教鏈按」中有所提及，此處不再一一枚舉。
這裡有一個矛盾點，不知道有沒有讀者發現。本質上，冪律模型否定了S2F。因為在冪律空間中，只有時間（time）維度而並沒有供應量（supply）維度。借用科幻小說《三體》裡，造成眾多物理學家死亡的那個問題，套用過來可以這麼說：
減半不存在了。
曾經有老韭菜絕望地問：如果說產量減半對BTC有決定性地推動作用，那麼為什麼它對LTC（萊特幣）就沒有作用呢？
減半和牛市，不過是一種虛妄的聯想。也許減半牛從來就沒有存在過，將來也不會存在。
如果減半不存在了，那麼我們也就完美的解決了文首辨析的問題。答案很簡單：既不是減半推動了牛市，也不是牛市領先於減半，二者並沒有什麼關係。
雖然聽起來很難接受，但對於信奉奧卡姆剃刀原理的教鏈來說，剃除減半的冪律理論，確實更優美。
今天，教鏈就先把冪律模型的提出者Giovanni Santostasi最近（2024.3.20）的一篇文章《比特幣冪律理論》（The Bitcoin Power Law Theory）介紹給各位讀者，作為後續繼續深入探討有關話題的基礎。
圖釋：比特幣類似自然現象，並非普通資產。這幅美麗的藝術作品歸功於@BainterSAT
與金融資產相比，比特幣更像城市和一個有機體。
12 年前，我開始研究比特幣。
我在Reddit 上發表我的探索，而不是在期刊上發表，主要是因為我想接觸更廣泛的比特幣社區，而不是發表一篇非專業科學家不會閱讀的論文。
我的主要發現是，比特幣受冪律支配。其規律性表明，比特幣的行為更像一個物理系統，而不是資產。這一直覺是基於比特幣價格與時間的關係中觀察到的驚人的冪律。
比特幣冪律理論。
我的冪律模型現在已經發展成為一個完整的比特幣行為理論，能夠以科學連貫和可證偽的方式解釋所有主要鏈上參數，並描述比特幣採用率的增長：比特幣冪律理論或PLT 。
下圖概括地解釋了PTL 理論，並顯示了支持該理論的主要數據。價格、哈希率和位址（我們使用高於閾值的位址來消除灰塵位址）都是彼此和時間的冪律。
它們在一個連續的回饋循環中相互作用、相互影響。
冪律是y=A x^n 形式的數學表達式，在自然界中無所不在，在社會現像以及與城市或國家發展相關的許多參數中也是如此。
它們之所以如此常見，是因為可以用數學和物理學的方法證明，只要有某種過程，輸出就會在迭代過程中成為新的輸入，它們就會出現。
這正是比特幣的情況，例如，現在的哈希率會影響以後的哈希率，形成無限循環。因此，比特幣的行為具有冪律，這不僅令人驚訝，而且完全符合比特幣的本質。
下圖支持這種相互作用，這在社區中是眾所周知的。這張圖不是我發明的，但我用它來說明理論是如何運作的。
該理論基本上是一種數學表達，基於邏輯、物理和數學的回饋迴路。
1. 最初，比特幣需要被中本聰圈子的第一批用戶接受和採用。
2. 比特幣的“價值”（現在是“價格”，可全天候在線查詢）隨著用戶數量的平方而增加（經驗測量值更像是1.95，但為了簡單起見，我們將以下所有冪數四捨五入為整數）。這證實了梅特卡夫定律的理論結果。
3. 價格上漲帶來了更多的資源，尤其是採礦能力。
4. 價格上漲減少了開採一個區塊的時間，但由於“難度調整”，開採一個區塊所需的哈希率會反覆變化。由於挖礦幾乎無利可圖，因此補償機制需要與價格的成長成正比，而價格的成長是透過P=users² 和獎勵本身來實現的，因此從邏輯和維度上講，我們可以得出哈希率=價格²（這正是在冪律的經驗值接近2 或價格=哈希率^1/2 時觀察到的結果）。
5. 哈希率的增加會為系統帶來更多的安全性，進而吸引更多的使用者。現在有些讀者可能會說，大多數人購買比特幣並不是因為“安全”，但他們間接地購買了比特幣，因為如果它不是一個安全的系統，就不會有人在它身上投入巨大的價值。所以是的，系統的安全性直接或間接地帶來了新用戶。
6. 隨著時間的推移，使用者數量會以3 的冪次成長。這也是該理論的新結果。大多數比特幣應用模型都採用S 型曲線成長。 S 曲線是電視、冰箱、汽車、手機等許多科技應用的典型曲線。比特幣並不遵循S 型曲線，它原本是指數型的。它在時間上遵循3 的冪律。事實證明，許多現像在採用或傳播時都有一個潛在的S 曲線機制（以病毒為例），如果它們有一個抑制機制，它們就會變成冪律。就比特幣而言，「難度調整」和任何類型的投資所涉及的風險都是抑制機制，這就是為什麼我們透過經驗觀察到，比特幣的採用率增長在時間上呈現3 的冪律。有大量文獻顯示，在涉及風險的疾病傳播中存在這種抑制現象，例如愛滋病（比特幣不是愛滋病，但這些研究表明，如果疾病的傳播涉及某種決策，例如與伴侶發生性關係，那麼疾病的傳播在時間上就會呈現3 的冪次，而不是S 曲線或其他類型的邏輯曲線）。
7. 這種循環無限重複。泡沫是這一循環的重要和必要組成部分，下文的推論將對其進行單獨討論。
8. 那麼，採用率的這種冪律增長（連同之前解釋過的冪律）就解釋了為什麼我們能及時觀察到其他冪律：地址=t³，價格=地址²=(t³)²=t⁶，哈希率=價格²=(t⁶)²=t¹²。
下面的圖表顯示了所有相互冪律及其建議的因果解釋。
冪律理論的後果和預測。
這個理論解釋了比特幣的長期行為，並產生了許多後果。
其中最令人震驚、最相關的，也是大多數普通比特幣投資者經常誤解的，就是標度不變性（Scale Invariance）。
標度不變性是物體或定律的特性，當長度、能量或其他變數的標度乘以一個公共因子時，它們保持不變。它是物理學、數學和統計學中的一個特徵。
標度不變性是受冪律支配的系統的典型特徵。
從本質上講，它表示系統在以相同的方式增長時將繼續擴大規模（scale），這就是為什麼我們可以使用標度不變性來進行預測，鑑於系統的增長已經超過了9 個數量級，幾乎可以肯定的是，其他1 或2 個數量級的成長也將繼續發生（達到100 萬BTC 大約需要10 年）。雖然這聽起來不可思議，但從長遠來看，系統、價格、哈希率和採用率等一切重要因素都是可以預測的。
標度不變性也能讓我們理解大型機構ETF 最近對比特幣系統的投資流入等事件的角色和重要性。
標度不變性告訴我們，這些事件不會極大地影響比特幣的價格軌跡，相反，它們是比特幣系統繼續保持標度不變增長所必需的關鍵事件。
這也意味著，許多人很難理解，冪律趨勢（加上泡沫）就是你所得到的一切。不多也不少。
這是該理論最令人震驚的預測。
所有理論都是可證偽的，而這正是證偽理論（至少是目前形式的理論）的方法之一。
未來的理論可以修改，增加斜率變化或相變，但目前的理論認為，比特幣的價格路徑已經確定，除非發生災難性事件，否則不會發生改變，尤其是在1 或2 個數量級上，而這只是比特幣整體歷史成長的一小部分。如果比特幣在15 年中保持標度不變，那麼在接下來的10 年（下一個數量級）中，比特幣也可能保持標度不變。
順便提一下，就規模而言，未來10 年與之前的15 年是不相容的，因為這只是另一個數量級。對於大多數不熟悉這些概念的人來說，需要花一些時間來理解對數比例的工作原理。
這個理論還有更多的內容（例如，為什麼我們會看到如此吻合的底部遵循冪律），但我們將在後續文章中詳細闡述。
理論的推論。
泡沫是如何產生的？
與稀缺無關，與摩爾定律有關。
中本聰知道摩爾定律。這是一個啟發式定律，宣稱運算能力每兩年翻一番。 「難度調整」機制確保你需要花費大量的金錢和精力來獲得一些額外的比特幣。
但摩爾定律給了你一個不公平的優勢。 4 年後，你將擁有4 倍的雜湊值運算能力，基本上與4 年前的機器（大致相同）的能耗成本相同。由於磨損，你無論如何都需要更新，而機器的成本只是營運成本的一部分。事實證明（我在理論中解釋了以何種方式），無論是從邏輯上還是從經驗上，我們都可以得出價格（或通常所謂的獎勵）=哈希率¹/2。因此，基本上4 倍的哈希率只能帶來2 倍的收益。但減半後，收益減半，增加的收益為零。這一切都是為了讓礦工處於盈利的邊緣，永遠不允許有免費的午餐。這太完美了，不可能是偶然的，我認為中本聰正是這樣計劃的。
4年，而不是2年或連續減少獎勵，是因為這在供應鏈方面也是一個好主意，因為晶片產業的更新和進步需要時間，也給了礦工時間去規劃更新，讓設備自然貶值。這純屬天才之舉，與比特幣有關的任何事情都極為務實，切中要害。泡沫是「安全吸引更多採用」這個循環的結果。這個循環不是我發明的，而是其他人發明的，而且它一直被用來解釋採用比特幣的週期。
這是有道理的，因為直接提高安全性會吸引更多的人，讓你對比特幣儲存價值的能力更有信心。沒有這一點，就沒有價值。我有一個最好的比喻，當人們搬到一個發展中的城市（就像賽勒（教鏈註：微策略公司創始人）說的，比特幣是數位世界中一個閃亮的城市）時，會出現一陣活動。你想搬進去，因為那裡有橋樑、房子、道路等等。你不一定會直接考慮這些事情，但你會被這些活動所吸引。所有的新事物和好事都在那裡發生。這產生了一種暫時的“FOMO”（教鏈註：害怕錯過），這種“FOMO”是好的“FOMO”，因為它是基於基本面的，而不是一些愚蠢的猜測，也許“FOMO 」不是一個最好的詞，所以你可以幫我找一個更好的詞。但你知道我的意思。
圖解：kuntah ⚡ 是這張神圖的作者。
價格上漲很快，幾乎呈指數級增長。這是價格唯一一次出現這種情況，而不是以冪律成長。事實上，從下圖中可以看出，它幾乎是完全對稱的，價格下跌的速度和上漲的速度一樣快（有時更快）。泡沫破滅後，它又會回到平衡狀態。這是一種點狀進化，也是比特幣成長的必要條件。
「所謂點狀平衡，是指進化是以脈衝的形式發生的，而不是達爾文所說的那種緩慢而穩定的進化。在物種滅絕或新物種出現方面幾乎沒有活動的長期停滯期，被間歇性的突發活動所打斷。”
因此，泡沫也是比特幣故事的一部分。它們並不是整個冪律增長的主線，但它們也是其中重要的一部分和必要的一部分。
我認為，這完美地解釋了整個週期中泡沫外（約2 年）和泡沫內（約2 年）的成長。請告訴我你的想法以及這是否合理。
知名物理學家D. Sornette 的這篇論文對泡沫的起源和性質持非常相似的立場。
註解
稀缺性在這理論中完全不起作用。稀缺性沒有任何機製或解釋力。
附錄
一些模型證實了我的發現。比特幣冪律理論（BPLT）比這些工作早幾年，但其他研究人員也發現了類似的結果，這一點令人欣慰：
https://stephenperrenod.substack.com/p/bitcoins-lindy-model
史蒂芬是另一位擁有哈佛大學博士學位的天文物理學家。
Q&A
我不懂什麼是冪律
冪律是一個簡單的概念，它是一種y=A x^n 的關係式。
這個等式雖然簡單，但它代表了自然界和人為現像中的許多現象。
但是，既然比特幣是由人類互動產生的，那麼冪律又怎麼可能出現在比特幣中呢？
首先，比特幣並非僅由人類互動產生。畢竟，比特幣是一個擁有精確演算法的程式碼，透過精確的數學公式運行。 「難度調整」是系統中存在的眾多回饋迴路之一，其作用類似於恆溫器，因此可以將其作為物理系統來研究。礦工對能源的需求也是純物理學。但是，更多基於社會互動的物理學，例如新比特幣用戶的採用，也可以用類似物理學和生物學中的方程式來建模，例如病毒的傳播。
單一個體可能有自由意志並獨立行動，但當你考慮到大量的代理人時，就會出現一些模式，這些模式可以用我們為理解自然現象而開發的工具來研究。我們稱之為“普遍性”，這意味著我們可以在自然界中找到與所研究現象的特殊性質無關的相似模式。
科學家已經將這些方法應用於社會網絡的成長、城市如何發展、企業如何生存等許多面向。這些社會或經濟現象往往遵循冪律。甚至恐怖攻擊也遵循冪律。
稀缺性、需求和供應又是什麼？
它在比特幣冪律理論中的作用為零，我們將在今後的文章中詳細闡述。
為什麼不使用美元以外的其他貨幣？
與世界上大多數貨幣相比，美元仍然是穩定的。雖然通貨膨脹，但這對比特幣來說只是一個小小的修正。當我們研究物理時，我們首先簡化，排除可能出現的複雜情況，例如摩擦或空氣阻力。我們可以稍後再添加，但首先，我們要了解現象的本質，不要分心。
冪律對通貨膨脹貨幣有效嗎？
我不知道，我為什麼要嘗試？我們能從中得到什麼資訊？我可以這麼做，但我有300 件關於比特幣的事情想要探索，這似乎是在浪費時間，就像這些貨幣一樣浪費。
不過，一般來說，BTC 的冪律與穩定的通貨膨脹有關。如果你的通貨膨脹率過高（例如通貨膨脹率快速上升），那麼問題就不在於冪律，而在於通貨膨脹的貨幣。
這就好比我告訴你地心引力會讓物體往下運動。然後你又問，那在颶風中呢？是的，豬在颶風中可以飛起來，你和你的房子也一樣。這並不違反萬有引力定律。
你看到這裡的邏輯謬誤了嗎？
2060 年的價格是多少？
10²⁹⁹⁹¹²³⁵，您現在滿意嗎？冪律理論不能用來預測2040年後的情況。雷·庫茲韋爾（Ray Kurzweil）的「技術奇點」（technological singularity）接下來就會到來，而所有的預測都是錯的。歷史上有一個字面上的奇點，所以沒人知道會發生什麼事。
它不可能永遠上漲
1. 我們不知道，因為我們不知道未來有多少價值會轉移到比特幣。我們可能會開始開採小行星或發明奈米技術，從而開創一個富足和財富的新時代，這樣比特幣就會永遠上漲（見上文問題）。
2. 這個模型可以很容易地進行調整，加入一個縮減的部分。冪律基本上就是這個模型的近似值。順便說一下，這些模型不會導致指數行為，但事實上，它們比冪律本身更溫和。就目前而言，沒有必要添加這個會使模型變得更加複雜，卻對我們的理解沒有實際益處的成分。
你說價格=哈希率^(1/2)，但等式的維度不對。
為了簡單起見，我們的意思是這種關係在本質上是成正比的，正確的等式當然是價格=A 哈希率^(1/2)，其中A 是一個常數，單位正確，使等式在維度上有效。
價格是自相關的，因此冪律是虛假的
這是統計學家和經濟學「專家」最喜歡的論點之一。價格當然是自相關的，但我們聲稱它是確定性的。所以你是在支持我們的假設？總之，關於這個荒謬的論點還有很多可說的，你可以在下面的連結文章中讀到，我們在文章中揭穿了揭穿者的謊言。
另外，請注意下面一篇關於比特幣的同行評審文章，它以一種更禮貌、更專業的方式提出了類似的論點，即如果你一開始就說你聲稱因果關係是由於一種似是而非的機制，那麼你就可以忽略這些更正式的因果關係測試，因為如果存在因果關係並且數據是部分確定性的，那麼數據顯然是相關的。
我們觀察到的所有冪律都聲稱是由因果過程產生的，如梅特卡夫定律、「難度調整」、冪律，如社會訊息的傳播和比特幣網路用戶之間的互動。
因此，在將比特幣作為一個自然過程（基於類似於生物學、網絡理論和物理學中的原理和機制）來研究的背景下，我們將在下文中運用同樣的論點來論證這些測試的遺漏及其不恰當性。
而且，Sinz 給了一些解釋：
那麼S2F 或其他價格模型呢？
S2F 充滿了數學和概念上的錯誤，請參閱我們先前關於此主題的討論。基本上，它就是一派胡言。沒有自相關或協整性也殺不死這隻吸血鬼。基本概念和模型建構中所使用的數學才是關鍵。
如果美元出現惡性通貨膨脹會怎樣？模型是否會崩潰？
這是最常見也是最煩人的問題之一。提問者想暗示什麼？他很快就會成為百萬富翁？
1. 上行到什麼程度？甚至更多不值錢的美元？你夢想過這樣的場景嗎？你將成為不值錢貨幣的百萬富翁。開心嗎？
2. 你知道這會導致內戰，甚至核戰嗎？那你的比特幣怎麼辦？
3. 如果那樣的話，比特幣（價格）圖表將是你最末位的問題了。
所有的“模型都將被摧毀”
（微策略創始人）賽勒（Saylor）指的根本不是比特幣模型，而是一些通用的經濟模型。我不得不回去聽聽那個採訪。完全不相關。讓我們停止思考，讓人們自己去思考，包括我。你可以的。我愛賽勒，愛得要死，但我相信他從來沒有自己畫過比特幣圖表，即使有，他也沒有花幾年時間去研究。當他對比特幣說三道四的時候，我在試著去理解它。好吧，讓我們妥協，所有的模型都將被摧毀，冪律理論是一個理論，而不是一個模型。好嗎？
難道我們正處於S 型曲線的起點？
不是，原因有幾個（我們很快就會討論）。
如果知識真的變得普及，價值就會暴漲，因為人們會以未來的價格定價？
不，這違背了冪律理論的主要預測和基本原則之一。任何形式的操縱都可能使價格瞬間上漲或下跌。但這種情況不會持續，一般來說，趨勢會受到尊重。
這是一個很難理解的概念。你可以意識到專利與城市規模之間的關係，這是一個冪律，但你不能改變它或改變太多，這是系統的基本屬性。它的存在並非偶然。它就是系統的本質。
我們在比特幣中觀察到的冪律就是比特幣的本質。
除非從根本上改變比特幣，否則我們無法改變它們。
這是理論中最強大、最有影響力的部分，隨著時間的推移，它可以被證偽，或者更多的觀察會支持它。
