從自然數開始，一直講明白了RSA 非對稱式加密的細節。
原文標題：《用吃奶的勁試著解釋加密算法的數學原理》
撰文：王建碩
前不久Jason 同學邀請複旦大學數學系的梅同學給希望了解Web3 的朋友們上了5 節硬核的數學課。從自然數開始，一直講明白了RSA 非對稱式加密的細節。我再回顧一下，嘗試解釋這個其實還挺複雜的事兒。
（前方數學預警，但是我保證努力限制在小學數學知識範圍以內）
大數無法分解
3 * 7 算出21 容易嗎？容易。反過來，21 是哪兩個數的乘積？也不難，但肯定比算3 * 7 麻煩。
同理967 * 379 = 366493 容易。反過來，366493 是哪兩個數乘積？難多了。
隨著乘積的不斷變大，算乘法的難度略微增大，算是這個數是由哪兩個數相乘的難度陡峭的增加。
一個一百位數字的數和一百位數字的數相乘，手工算不容易，但對計算機來說不難，結果是一個大約兩百位數字的數字。
反過來，把這個200 位的數字分解？基本上現在能想到的辦法就是近似於一個一個的試。別說算乘法了，光從一數到80 位的數字，按照現在的計算水平，就要消耗掉一個中等恆星一生的能量了。所以，簡單結論是，超級大的數字做分解不可能。
就利用這個簡單的原理，加上聽起來故弄玄虛的歐拉定理，就是一個精妙絕倫的RSA 加密算法。
n 進制取個位
這個東西的數學名稱叫「取模」，就是算「一個數除以n 以後的餘數是幾」。
不過我們不用這個名字。我自己發明的一個混雜了數學和計算機的概念，叫做 n 進制取個位。比如n = 8，八進制下只取個位，超過的十、百、千位數就直接扔掉，那麼15 這個數本來八進制就是17，只取個位，就是 7。所以，我們規定，15 在八進制個位模式下，就等於7。同樣，23，31 等，在8 進制取個位下，都等於7。這個「等於」，不是絕對數字的相等，而是經過了 n 進制取個位，我們用 ≡ 表示這種特殊的等於（正規說法叫做「模n 同餘」，可以忽略）。
這樣，如果n 是4 萬公里的話，數字的世界變成像地球一樣，是一個循環。在赤道上可以向東走 1 萬公里，和向西走 3 萬公里結果是一樣的，甚至向西走 7 萬，11 萬，15 萬公里的終點是一樣的，就是一圈一圈的轉就是了。所以4 萬進制取個位， 1 萬 ≡ -7 萬 ≡ -11 萬 ≡ -15 萬。注意，畢竟走7 萬公里和走11 萬公里不相等( = )，但是在地球赤道上走，他們的效果相等 ( ≡ )。
例子：比如在 20 進制取個位下，3 * 7 的結果就是 1 （本來是21，結果走過頭了， 又繞回來，回到了1 ）。
連著乘兩個數就是它本身
這有啥用呢？神奇的事情在於，在 20 進制取個位下，任何數乘以3 再乘以7，就相當於乘以 1，就是這個數本身！
比如 12 * 3 = 36 ；36 % 20 = 16; 16 * 7 = 112; 112 % 20 = 12
變回原來了。神奇嗎？
在 20 進制取個位下，你把一個數乘以3，我不用除以3，而是繼續乘以7 ，就是原來那個數。不僅僅是7，我把乘3 的數字乘以67，127，或者187。 。 。 。它都會回到原來那個數，只是轉的圈數多了些。
這就使得，如果兩個數在一個 n 進制取個位下乘積為1，這兩個數不就是一個很好的加密和解密的工具嗎？
比如數字大一點，在366492 進制取個位下，任何數乘以 967 得到的數再乘以379，就是它本身。
公鑰和密鑰
如果我把 e = 967 當做公鑰，d = 379 當做密鑰，我只需要告訴別人（ e = 967, n = 366492）這兩個數字，別人乘積以後交給我，我再乘以d ，然後。 。 。 。
不過有一個小問題，如果給出了（e = 967, n = 366492）這兩個數，別人除以e 不就得到了我的秘鑰d 嗎？畢竟，你可以算乘法，別人就可以算除法，而且難度差不多。我們把這個辦法成為露餡兒加密法。
接下來要做的事情，就是想辦法把這自己的密鑰藏起來，讓別人拿到n 進制數，還有公鑰e，沒有辦法算出我的密鑰，但是依然可以用e 加密，我可以用私鑰d 解密不就好了？
歐拉定理
我們引入 φ(n) 。它的定義可厲害了，是「小於 n 的正整數中和 n 互質的數的個數」。這個定義忽略就好，只要知道，如果n 是兩個素數p, q 的乘積的話， φ(n) = (p-1)(q-1)。
歐拉發現了一個驚天大秘密，居然在 n 進制取個位下，如果m 和n 互為質數，m 的φ(n) 次方居然等於1：
m ^ φ(n) ≡ 1
兩邊都取k 次方：
m ^ (k * φ(n)) ≡ 1
兩邊都乘以m ：
m ^ (k * φ(n) + 1) ≡ m
k * φ(n) + 1 是啥意思？就是這是一個「除以 φ(n) 餘數為1 」的數字。也就是說，只要找到e*d 這兩個數，使得他們的乘積除以 φ(n) 餘數為1 就好。這個好找，有一個叫做輾轉相除法的方法，不過這裡先略過。我們一般常常把e 固定的設為65537，然後就可以找到一個滿足的d。
最後，也就是最驚豔的一步，如果我們能夠找到這樣的e, d，我們把 e 和 n 告訴整個世界，讓他們在 n 進制取個位下，把要加密的數字 m 取 e 次方發給我，我對這個數再進行d 次方，我就能得到m。
(m ^ e) ^ d ≡ m
重新梳理
到現在大家應該已經無一例外的暈厥了。這很正常。我們再理一下就清楚了。
就是說，如果我能無論用什麼方法，找到一個進制n，在這個 n 進制取個位下，能夠找到兩個數字e 和d，e 公開給整個世界，d 留給自己，同時還能讓任何數字m 的e 次方的d 次方還等於原來這個m，加密解密算法不就成立了嗎？就跟最早我說的那個乘以一個數，再乘以另一個數，總等於原來的數字一樣？
但露餡兒加密法兩個乘法的算法的明顯的漏洞在於，e 和n 給出了，d 也就給出了。
在這個新的算法中，e 給出了。 n 給出了，但e * d ≡ 1 的進制，不是簡單地 n，而是和n 同源，但是不同的 φ(n) 。正因為進制改了，所以也不能用露餡兒加密法裡面的兩次乘法，而藉用歐拉的驚天發現，做了兩次冪運算。
從 n 能不能算出來 φ(n) 呢？如果有能力分解n 當然 φ(n) 唾手可得，把兩個因子各自減一再乘起來就好。
但是從n 能不能輕易地找到p 和q 呢？根據最早的大數不可分解，要想找到100 個太陽燒掉都不夠用，p 和q 好像是腳手架，算出來n，算出來 φ(n) 就扔掉了。那麼 φ(n) 就是一個秘密。如果 φ(n) 是個秘密，有了e 也找不到d。
所以，整個算法是無比精巧的安全。
舉例子
我們找兩個腳手架數字：p = 2, q = 7，算出n = 2 * 7 = 14, φ(n) = (2 – 1) * (7 – 1) = 6 。那兩個腳手架數字p, q 在算出n 和 φ(n) 後就退休了。找在 6 進制取個位下，e * d ≡ 1 好辦，e = 5, d = 11 就行（ 5 * 11 = 55 = 6 * 9 + 1 ≡ 1）。
這樣，公佈給全世界的數字就是(e = 5, n = 14)，保留給自己的就是d = 11。 φ(n) 千萬也不能告訴任何人。 φ(n) 就如同總統，n 如同他的影子。世界只能看到他的影子，看不到總統本人。好在影子在世間行走不怕暗殺，總統躲在防空洞裡是安全的。
我們來試一下，在 14 進制個位模式下，如果要傳遞的數字 m = 2，別人把m ^ e 算出來，就是2 ^ 5 = 32 = 2 * 14 + 4 ≡ 4
現在，4 就可以大大咧咧的在互聯網上隨便傳輸了。只有我知道有一個秘密是11 。我拿到以後，算4 的11 次方，4 ^ 11 ≡ 4,194,304 % 14 ≡ 2 ，不就是別人要給我的那個數字嗎？前提是，我們認為別人從n = 14 無法分解成2 * 7，否則就全露餡了。
14 肉眼可以看出等於2 * 7。
這個數n：
8244510028552846134424811607219563842568185165403993284663167926323062664016599954791570992777758342053528270976182274842613932440401371500161580348160559
是 p
91119631364788082429447973540947485602743197897334544190979096251936625222447
乘以 q
90480063462359689383464046547151387793654963394705182576062449707683914045697
計算機眼也看不出來。 p 和q 如同兩位門神，死死的守住了獲取它們後面的秘密的入口。但是從p，q 算出 φ(n) ，以及e，d，卻都是舉手之勞。
如果知道n 的組成是p，q，我們按照上面的算法可以選出來e 和d：
65537
2545549238258797954286678713888152865623498585866759298032549597771444725977268190722532488574321463855938811396613702406984581214587037347197409962813953
也就是說，這個遊戲，任何人要把一個數字m 傳給我，只需要在n 進制取個位下，對它進行65537 次冪（m ^ 65537），我再把它進行d 次冪，我就拿回了原來的數字。
這個精巧的算法，就是RSA 加密算法。
希望有人能夠看明白。我真的是盡力了。